BC:ChaotickeAtraktory

Z FI WIKI
Přejít na: navigace, hledání

Úvod

Příroda ve své rozmanitosti zahrnuje jak řád, tak i chaos. Stovky let myslitelé svých dob konstruovali rovnice pro popis chování přírody. Je pozoruhodné, že až teprve v posledních desetiletích 20. století bylo zjištěno chaotické chování těchto rovnic. Porozumění chaosu mění náš pohled na svět. Zkoumání složitostí, které mohou vznikat z jednoduchých rovnic, nám z velké části postačuje k popsání komplexnosti světa. Chaos nám poskytuje nástroje pro lepší předpovědi složitých a evidentně náhodných systémů, jako je počasí, burzovní trh, zemětřesení, epidemie, populační růst, atp. Stejně tak může nalézt uplatnění v komunikaci a kryptografii.

Je nutné si uvědomit, že chaos neznamená naprostý nepořádek. Z matematického (a také z fyzikálního) hlediska chaos může být produktem deterministických systémů, tj. řádně definovaných systémů bez náhodných parametrů. První pokusy o zkoumání chaosu můžeme datovat k roku 1900, ve studiích Henri Poincarého. Mezi další řešitele patří například G.D. Birkhoff, M.L. Cartwrightová, J.E. Littlewood a Stephen Smal. Teorie chaosu se v první polovině 20. století rychle vyvíjela. Katalyzátorem vývoje byl elektronický počítač. Mezi největší průkopníky druhé poloviny minulého století patří Edward Lorenz, který při předpovídání počasí výrazně přispěl k rozvoji teorie chaosu.

S vývojem výpočetní techniky a především číslicových počítačů se vytváří nová forma umění – Computer art , resp. Computer-aided art . Pro pochopení tohoto umění není potřeba znát matematiku nad rámec elementární algebry a není třeba být programátorem. Počítače slouží umělcům buď jen jako prostředek vizualizace, nebo se přímo část tvorby přenechá jim. A právě do druhé skupiny patří fraktály.

Atraktor je případ chaotického dynamického systému. Může to být bod, křivka, manifold, nebo i komplikovanější fraktální struktura. Ve své práci se snažím přiblížit zajímavou techniku generování třídy fraktálů nazývané chaotické atraktory , seznámit s jejich matematickou podstatou a s jejich tvorbou.

Teorie atraktorů

V této kapitole jsou vysvětleny základní myšlenky a matematický aparát.

Motivace

V úvodu si vyjasníme pojmy determinismus, předvídatelnost a také chaos. Je nutné si uvědomit, že determinismus není totéž, co předvídatelnost. Jako příklad si uveďme počasí. Počasí je řízeno atmosférou, která je podřízena deterministickým přírodním zákonům. Ovšem pokud nahlédneme na počasí z dlouhodobějšího hlediska, zjistíme, že předvídatelnost počasí je možná na maximálně dva až tři týdny, i když fyzikální zákony jsou deterministické a přesně známy. Počasí je totiž extrémně citlivé na počáteční podmínky – malé změny dnes mají velký vliv na počasí zítra a ještě větší vliv na počasí další den. Tato citlivost na počáteční podmínky je přezdívaná motýlí efekt (~ hypotetická možnost, že mávání křídel motýlů v Brazílii může způsobit tornáda v Texasu). Chaosem je nazýváno nepředvídatelné chování deterministických systémů.

Slovo chaos bylo poprvé uvedeno Jamesem A. Yorkem a Tien-Yien Li v roce 1975. Termín Strange attractors – podivné atraktory byl poprvé použit v tisku v roce 1971 Davidem Ruellem a Florisem Takensem. Někteří lidé ovšem preferují pojmenování Chaotic attractors – chaotické atraktory , neboť to, co se zdálo neznámé a nesrozumitelné při prvních zkoumáních již v roce 1963, je dnes převážně známé.

Nejen chování složitých systémů, popsaných komplexními matematickými rovnicemi, může být složité a nepředvídatelné. Dokonce velmi jednoduché systémy popsané prostými rovnicemi mohou mít chaotické řešení. Mimoto existují systémy schopné chovat se jak předvídatelně, tak chaoticky – v závislosti na jediném výrazu v rovnicích popisujících daný systém. Chaotické procesy nejsou náhodné – sledují pravidla, ale i jednoduché pravidlo může způsobit extrémní složitost.

Definování pojmů

Mějme následující rovnici:

<math>X_{n+1}=R X_n</math>

Z této rovnice je patrné, že hodnota následujícího členu ( Xn+1 ) je vypočtena z předchozího ( Xn ) vynásobeného koeficientem R . Vezmeme-li v úvahu počáteční hodnotu X0 , pak hodnota n-tého členu Xn bude dána následující rovnicí:

<math>X_n=X_0 R^n</math>

Pokud je koeficient R<1 , bude hodnota Xn klesat, pokud je R>1 , Xn bude růst (exponenciálně). Je nutné modifikovat rovnici 2.2.1 takovým způsobem, aby exponenciální růst neprobíhal donekonečna.

Nejjednodušší úprava je vynásobení pravé strany rovnice 2.2.1 výrazem typu ( 1-X ), u kterého se hodnota blíží jedné tehdy, když X<<1 , a naopak. Takto modifikovaná rovnice 2.2.1 je:

<math>X_{n+1}=R X_n (1-X_n)</math>

a nazývá se logistická rovnice . Pokud položíme Xn+1 = Xn a řešíme pro Xn, pak hodnota Xn se nazývá pevný bod rovnice. Má-li totiž X pevnou hodnotu, má ji trvale. Toto řešení s pevným bodem se občas nazývá bodový atraktor, protože každá počáteční hodnota X ∈ (0..1) je při opakované iteraci rovnice 2.2.3 přitahována (anglicky attracted) k pevnému bodu. Pevný bod je často nazýván kritickým bodem, singulárním bodem, nebo singularitou.

Pokud bude hodnota X<0, resp. X>1, pak iterace budou záporné, až nakonec dosáhnou záporného nekonečna. Hodnoty X=0 a X=1 jsou tedy hranice – mezi těmito hodnotami je řešení ohraničené, mimo je neohraničené. Oblast mezi X=0 a X=1 se nazývá oblast přitažení, neboť se podobá koupelnovému umyvadlu, kde každá kapka vody z jakéhokoliv místa najde cestu do odtoku. X=0 je též pevný bod, ale nestabilní, protože hodnoty mírně nad nulou a mírně pod nulou jdou pryč od nuly. Takový nestabilní pevný bod je občas nazýván odpuzovač (anglicky repellor). Chaos může vzniknout v přítomnosti dvou nebo více odpuzovačů.

Rovnice, které se jeví chaotické, mají nestabilní, ale ohraničené řešení – řešení se nikdy neustálí poblíž pevného bodu nebo do opakujícího vzoru, ale ani nepůjde do nekonečna. Říkáme, že takové rovnice jsou lineárně nestabilní nebo nelineárně stabilní. Malé odchylky sice v systému rostou, ale růst se ustálí tehdy, když nelineární výrazy začnou nabývat důležitosti. Jinak řečeno, pevné body jsou lokálně nestabilní , ale systém je globálně stabilní . V tomto případě jsou počáteční podmínky koncipovány jako speciální typ atraktorů nazývané chaotické atraktory , což není bod nebo konečná množina bodů, ale složitý geometrický objekt s velkolepými detaily.

Rovnice jako logistická rovnice, které předpovídají následující hodnotu z množství předešlých hodnot, se nazývají iterační mapy (obdobně jako kartografické mapy, kde každý bod na Zemi má odpovídající bod na papíře). Logistická rovnice je jednodimenzionální mapa, protože můžeme různé hodnoty X chápat jako body ležící podél přímky od - ∞ do + ∞ . Každá iterace mapy posune každý bod kolem přímky na novou pozici na přímce. Například pro R=2 se každý bod z intervalu X ∈ (0..1) posune směrem k X=0,5 , kde se zastaví a zůstane. Ostatní body se posunou co nejvíce směrem ke konci přímky v - ∞ . Logistická rovnice je příkladem kvadratické iterační mapy , neboť násobení pravé strany rovnice 2.2.3 není jen lineární výraz R Xn , ale i kvadratický výraz -R Xn2 . Kvadratické mapy jsou neinvertovatelné.

n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6
0.1 0.18 0.2952 0.4161 0.4859 0.4996 0.5
0.2 0.32 0.4352 0.4916 0.4999 0.5 0.5
0.8 0.32 0.4352 0.4916 0.4999 0.5 0.5
-0.1 -0.22 -0.5368 -1.6499 -8.7442 -170.41 -58421
1.1 -0.22 -0.5368 -1.6499 -8.7442 -170.41 -58421
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0


Grafem v prostoru vymezeném souřadnicemi Xn+1 a X n je parabola. Protože parabola není přímka, říká se o mapě, že je nelineární . Chaotické atraktory vyžadují nelinearitu. Zajímavé a překvapivé chování nelineárních iteračních map je základ velké části této práce.

První překvapení nastane, když budeme iterovat rovnici 2.2.3 s R=3,2 a počáteční hodnoty budou v rozmezí (0..1) . Po několika iteracích se řešení bude střídat mezi dvěmi hodnotami – cca 0,5130 a 0,7995 . Tuto situaci nazýváme 2-periodní limitní cyklus . Podobně jako pevný bod, limitní cyklus je další typ jednoduchého atraktoru. Je to opakující se sekvence stavů. Často se limitní cyklus nazývá periodický nebo cyklický atraktor . Pokud dále zvýšíme koeficient na R=3,5 a zopakujeme výpočet, dostaneme 4-periodní limitní cyklus – získáme 4 hodnoty. Budeme-li pokračovat ve zvětšování R po malých hodnotách, perioda limitního cyklu se bude opakovaně zdvojnásobovat, až dosáhne chaotického chování (nekonečné periody) v přibližně R=3,5699456 . Tato hodnota je nazývána Feigenbaumovým bodem . Chaotické chování (s výjimkou několika malých periodických oken) přetrvává až do R=4 , poté je řešení neohraničené a iterace směřuje do - ∞ . Toto chování popisuje bifurkační diagram (obrázek 2.1).

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG2 2 1.png
Bifurkační diagram pro logistickou rovnici Xn+1 = R Xn (1-Xn)

Každá rozdvojující se perioda se nazývá bifurkace (každé jediné řešení se rozdělí ve dvě). Postupné periodické zdvojování nastává se stále rostoucí rychlostí (směr zleva doprava na obrázku 2.1). Poměr šířky každé oblasti k šířce předešlé oblasti se blíží ke konstantní hodnotě 4,669201660910… ( Feigenbaumovo číslo ). Za povšimnutí stojí výskyt tohoto čísla v mnoha různých chaotických systémech v přírodě stejně jako v řešeních rovnic. Všestrannost Feigenbaumova čísla v chaosu lze připodobnit k všudypřítomností čísla π v Euklidovské geometrii.

Při R=4 řešení zaujímají celý interval od X=0 do X=1 . Nakonec X nabude hodnoty libovolně blízko k jakémukoliv bodu na tomto intervalu ( topologická tranzitivita ). Kupodivu, nekonečně mnoho počátečních hodnot nevede k chaotickému řešení, ani pro R=4 . Např. X0=0,5 a X0=0,75 směřují k nestabilním pevným bodům, zatímco X0=0,34549… a X0=0,904508… vytvoří nestabilní 2-periodní limitní cyklus. Nestabilností rozumíme to, že i sebemenší nepřesnost v počátečních hodnotách způsobí rozptýlení následných iterací.

Přestože je nekonečně mnoho nechaotických počátečních hodnot z intervalu (0..1) , šance, že najdeme jednu náhodným hádáním je mizivá. Pro každou takovou hodnotu existuje nekonečně mnoho ostatních, které produkují chaos. Takovou zdánlivě paradoxní entitou je příklad Cantorovy množiny . Atraktor je množina nulové míry , ovšem jeho oblast přitažení má nenulovou metriku.

Logistická rovnice je nejjednodušším příkladem rozmanitých rovnic ukazující chaos. Tato dichotomie jednoduchosti a složitosti dělá chaos krásným jak pro matematiky, tak i pro umělce.

Motýlí efekt

Jestliže je náš cíl najít chaotické chování v řešení rovnic, potřebujeme jednoduchý způsob testování chaosu. Pro tento účel využijeme faktu, že chaotické procesy vykazují extrémní citlivost na počáteční hodnoty.

Připusťme iteraci logistické rovnice se dvěma jen nepatrně se lišícími počátečními hodnotami X . Jestliže postupné iterace směřují k pevnému bodu tak, jak pro R=2 , rozdíl mezi těmito dvěma řešeními musí být menší a menší, až se dosáhne pevného bodu. Podobná věc se stane pro limitní cyklus. Rozdíl mezi dvěma řešeními se bude průměrně zmenšovat exponenciálně. V případě chaotického řešení (jako logistická rovnice pro R=4 ) se následné iterace, zpočátku blízké, během výpočtu vzdalují dále od sebe.

Pokud se vzdálenost průměrně každou iteraci zdvojnásobí, říkáme, že Ljapunovův exponent je 1. Jestli je rozdíl snížen o polovinu, pak Ljapunovův exponent je -1. Ljapunovův exponent můžeme definovat jako druhou mocninu, která mění vzdálenost mezi dvěmi téměř stejnými hodnotami X v průměru každé dvě iterace. Tedy rozdíl mezi dvěma hodnotami je měněn průměrně

2L pro každou iteraci. Pokud je L negativní, řešení se přiblíží jedno k druhému; jestliže je L positivní, máme citlivost na počáteční podmínky a z tohoto důvodu chaos.

Jedna možnost detekování chaosu je tedy iterace rovnice se dvěma téměř stejnými počátečními hodnotami a sledování, jestli se po mnoha iteracích hodnoty od sebe vzdalují nebo přibližují. Jiný způsob vychází z diferenčního počtu:

<math>\Delta X_{n+1}/\Delta X_n=R (1-2X_n)</math>

Vzhledem k tomu, že ΔX se zvyšuje koeficientem na pravé straně rovnice 2.3.1 každou iterací, správný způsob výpočtu průměru je začít s hodnotou 1 a opakovaně ji každou iteraci vynásobit pravou stranou rovnice 2.3.1; nakonec vezmeme logaritmus o základu 2 absolutní hodnoty výsledku, abychom získali Ljapunovův exponent:

<math>L=\sum{log_2{|R (1-2X_n)|}}/N</math>

kde N je nějaké velké číslo. Čím větší bude číslo N , tím přesnější bude odhad L . Pozn.: informace o počátečních podmínkách se kompletně ztratí po několika iteracích.

Počátek umění

Mějme logistickou rovnici pro R=4 s počáteční hodnotou X=0,05 . Grafem každé iterace v závislosti na jejím předchůdci je obrázek 2.2:

Logistická parabola vychází z chaotického řešení, ale nevypadá velmi složitě a těžko to budeme nazývat uměním. Jednou malou změnou můžeme udělat věci zajímavějšími. Znázorníme citlivost na počáteční podmínky. Místo vykreslování každé iterace v závislosti na bezprostředním předchůdci, budeme kreslit závislost na druhém, třetím nebo i čtvrtém předchůdci. Po pěti iteracích lze získat obrázek 2.3:

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG2 4 2.png
Logistická parabola po pěti iteracích

Obrázek 2.3 poskytuje dobrou grafickou ilustraci citlivosti na počáteční podmínky. Horizontální osa reprezentuje všechny možné počáteční podmínky od 0 do 1. Vertikální osa ukazuje hodnotu od 0 do 1 odpovídající každé počáteční podmínce po pěti iteracích. Z obrázků je vidět, že po pěti iteracích se blízké body na horizontální ose přemístí na dvě rozdílné hodnoty podél vertikálních os.

Pomocí této kapitoly jsme nahlédli na způsob, jak jsou chaotické atraktory tvořeny geometricky. Logistická parabola, která začínala jako křivka, tedy jednodimenzionální objekt, je deformována každou iterací, případně po mnoha iteracích vyplní celou plochou (dvojdimenzionální objekt). Matematické řešení chaotických procesů obvykle vytváří chaotické atraktory, jejíž rozmanitost a krásu zkoumáme.

Hledání atraktorů

Tato kapitola se věnuje hledání chaotických řešení jednoduchých rovnic s jednou proměnnou. Řešení jsou části křivek, ovšem křivky se mohou měnit v neuvěřitelně složitých způsobech.

Rozpoznání atraktorů

Logistická rovnice (rovnice 2.2.3) je příklad dynamického systému . Takový systém je popsán deterministickými rovnicemi s počátečními hodnotami. Konkrétní systém má jeden kontrolní parametr R , jehož hodnota určuje chování řešení pro všechny počáteční hodnoty X uvnitř oblasti přitažení . Dynamické systémy ale obvykle mají více než jeden kontrolní parametr .

Rovnice pro nejobecnější jednodimensionální kvadratickou iterační mapu je:

<math>X_{n+1}=a_1 + a_2 X_n + a_3 X_n^2</math>

kde a1 , a2 , a3 jsou tři kontrolní parametry. Při zkoumání všech jejich možných hodnot jsme schopni zachytit každé možné chaotické řešení, která rovnice může mít.

Můžeme považovat X0 za čtvrtý kontrolní parametr, ale jestliže je systém chaotický, řešení je obecně chaotický atraktor a všechny počáteční podmínky uvnitř oblasti přitažení jsou stejné i po mnoha iteracích. Samozřejmě nemáme jistotu, že jednotlivá volba X0 leží uvnitř oblasti přitažení, ale hodnoty X0 blízké 0 jsou uvnitř oblasti přitažení přibližně z poloviny. Protože máme mnoho chaotických řešení přes rozsah dalších tří parametrů, můžeme si dovolit polovinu z nich vyřadit.

Při hledání chaotických atraktorů postupujeme následovně. Vybereme libovolně hodnoty pro a1 , a2 a a3 . Začínáme s hodnotou X0 blízko 0. Opakovaně iterujeme rovnici 3.1.1, dokud řešení překročí nějaké velké číslo (v tomto případě je pravděpodobně neohraničené), nebo dokud se Ljapunovův exponent nestane malým, příp. záporným (v tomto případě je řešení pravděpodobně pevný bod nebo limitní cyklus). V obou případech vybereme rozdílné kombinace a1 , a2 a a3 a znovu začneme. Jestliže je po několika tisících iterací řešení ohraničené ( X není obrovské) a Ljapunovův exponent je kladný, pak jsme pravděpodobně našli chaotický atraktor.

Další příklad jednodimenzionální chaotické mapy je rovnice 3.1.2:

<math>X_{n+1}=(aX_n + b) \bmod c</math>

Pro hledání atraktorů je vhodné zevšeobecnit rovnici 2.3.2 pro Ljapunovův exponent logistické rovnice. Zobecnění je jednoduše získáno použitím diferenciálního počtu:

<math>L=\sum{log_2{|(a_2+2a_3X_n)|}}/N</math>

Kritéria pro detekování chaotických atraktorů jsou poněkud subjektivní. Vždy tu budou sporné případy, u kterých žádný výpočet nepostačí k rozlišení mezi chaotickým atraktorem a periodickým řešením s velmi dlouhou periodou. Avšak naším cílem je najít vizuálně zajímavé atraktory rychle, a proto si můžeme dovolit udělat příležitostné chyby. Takové chyby představují jen malý zlomek případů. Podle těchto kritérií je jen 364 (2,3%) z 15625 kombinací koeficientů chaotická.

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG3 1 1.png
Jednodimenzionální kvadratická mapa

Co je v zadání atraktoru?

Když vybíráme náhodné hodnoty pro koeficienty a1 , a2 a a3 , ihned čelíme dvěma problémům. První je rozsah hodnot, které by koeficienty měli mít, a druhý je množství, o jaké se musí dvě hodnoty koeficientu lišit, aby vytvářeli viditelně odlišné atraktory.

V prvním problému se můžeme odvolat na logistickou rovnici (rovnice 2.2.3). Když je hodnota R příliš malá (menší než cca 3,5), pak zde nejsou žádné chaotická řešení; když je hodnota R příliš velká (větší než 4), všechna řešení jsou neohraničená. Podobná situace nastane u více obecných jednodimenzionálních kvadratických map v rovnici 3.1.1. Tedy chceme omezit koeficienty na hodnoty, jejíchž velikost je v řádu jednotek. Totiž 0,1 je pravděpodobně příliš malá hodnota a 10 zbytečně velká.

Druhý problém vyžaduje subjektivní odhad, jak odlišně mají dva atraktory vypadat, než je považujeme za rozdílné. Obvykle změna v jednom z koeficientů o částku v řádu 0,1 vytvoří objekt, který je znatelně rozdílný. Jestliže necháme každý koeficient nabývat hodnoty z rozsahu (-1,2; 1,2) po krocích 0,1, získáme 25 možných hodnot. Každou hodnotu můžeme asociovat s písmem v abecedě, A po Y, a tím získat vhodný způsob katalogizace a replikace atraktorů. Zúžení počtu koeficientů na 25 hodnot se může zdát příliš omezující, ale protože máme tři koeficienty pro jednodimenzionální kvadratickou mapu, získáme 253 (15625) různých kombinací.

Koeficienty odpovídající logistické rovnici s R=4 jsou a1=0, a2=4, a a3=-4 a nespadají v rámec rozsahu (-1,2; 1,2). Čili pro některé účely je vhodné vzít větší rozsah. Vhodný způsob rozšíření rozsahu je použití ASCII znakové sady shrnuté v tabulce 3.1.

Znak Kód Koef Znak Kód Koef Znak Kód Koef
32 -4.5 # 64 -1.3 ` 96 1.9
 ! 33 -4.4 A 65 -1.2 a 97 2.0
" 34 -4.3 B 66 -1.1 b 98 2.1
# 35 -4.2 C 67 -1.0 c 99 2.2
$ 36 -4.1 D 68 -0.9 d 100 2.3
 % 37 -4.0 E 69 -0.8 e 101 2.4
& 38 -3.9 F 70 -0.7 f 102 2.5
' 39 -3.8 G 71 -0.6 g 103 2.6
( 40 -3.7 H 72 -0.5 h 104 2.7
) 41 -3.6 I 73 -0.4 i 105 2.8
* 42 -3.5 J 74 -0.3 j 106 2.9
+ 43 -3.4 K 75 -0.2 k 107 3.0
, 44 -3.3 L 76 -0.1 l 108 3.1
- 45 -3.2 M 77 0.0 m 109 3.2
. 46 -3.1 N 78 0.1 n 110 3.3
/ 47 -3.0 O 79 0.2 o 111 3.4
0 48 -2.9 P 80 0.3 p 112 3.5
1 49 -2.8 Q 81 0.4 q 113 3.6
2 50 -2.7 R 82 0.5 r 114 3.7
3 51 -2.6 S 83 0.6 s 115 3.8
4 52 -2.5 T 84 0.7 t 116 3.9
5 53 -2.4 U 85 0.8 u 117 4.0
6 54 -2.3 V 86 0.9 v 118 4.1
7 55 -2.2 W 87 1.0 w 119 4.2
8 56 -2.1 X 88 1.1 x 120 4.3
9 57 -2.0 Y 89 1.2 y 121 4.4
 : 58 -1.9 Z 90 1.3 z 122 4.5
 ; 59 -1.8 [ 91 1.4 { 123 4.6
< 60 -1.7 \ 92 1.5 124 4.7
= 61 -1.6 ] 93 1.6 } 125 4.8
> 62 -1.5 ^ 94 1.7 ~ 126 4.9
 ? 63 -1.4 _ 95 1.8 _ 127 5.0


Znaky uvedené v tabulce postačí pro většinu našich potřeb. S takto nadefinovaným kódovacím schématem můžeme zobrazit každý atraktor sekvencí znaků, kde každý znak odpovídá jednomu koeficientu. Uvedeme zadání znakem, který označuje typ rovnice. Použijme znak A jako reprezentanta jednodimensionální kvadratické mapy. Logistická rovnice zakódována tímto způsobem je AMu%. Takovéto zadání poskytuje vhodnou a kompaktní metodu pro uložení všeho, co je potřeba pro tvorbu atraktorů.

Jdeme výš

Předcházející obrázky se skládají z částí proměnných křivek, které nejsou velmi vizuálně přitažlivé. Abychom to udělali zajímavější, vezmeme v úvahu jednodimenzionální mapy vyšších řádů. Tj. použijeme nejenom kvadratické mapy, ale uvážíme i rovnice kubické ( X3 ), čtvrtého ( X4 ), pátého ( X5 ) i vyšších stupňů. Uvažme, že členy vyšších stupňů jsou ekvivalentní vyhodnocování každé iterace v závislosti na předposledním a jemu předcházejícím průchodům cyklem. Například po dvou následných iteracích rovnice 3.1.1 druhého řádu to vypadá následovně:

<math>X_{n+2}=a_1(1+a_2+a_1a_3)+(a_3a_2+2a_1a_3)X_n+\\+a_3(a_2+2a_1a_3+a_2^2)X_n^2+(2a_2a_3^2)X_n^3+a_3^3X_n^4</math>

což je polynom čtvrtého stupně. Avšak jsou tam jen tři parametry – a1 , a2 a a3 – ze kterých je pět koeficientů jednoznačně určeno. Jednodušší a obecnější postup nám dovolí, aby každý člen polynomu měl svůj vlastní koeficient, což pro pátý řád znamená

<math>X_{n+1}=a_1+a_2X_n+a_3X_n^2+a_4X_n^3+a_5X_n^4+a_6X_n^5</math>

Se šesti koeficienty, kde každý má 25 možných hodnot, máme 256 (cca 244 miliónů) různých kombinací. Zobecnění výrazu Ljapunovova exponentu pro mapu pátého stupně je

<math>L=\sum{\log_2{|(a_2+2a_3X_n+3a_4X_n^2+4a_5X_n^3+5a_6X_n^4)|}}/N</math>

V zadání podle našeho kódovacího schématu znak B reprezentuje třetí řád, C znamená čtvrtý řád a D pátý řád.

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG3 3 2.png
Jednodimenzionální mapa čtvrtého stupně
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG3 3 3.png
Jednodimenzionální mapa pátého stupně

Atraktory v rovině

Zatímco minulá kapitola pojednávala o jednodimenzionálních mapách, jejíchž grafem jsou části křivek, tato kapitola se zaměří na dvojdimenzionální mapy, jejichž grafem jsou části ploch. Tyto grafy lze již opravdu pokládat za umění.

Kvadratická mapa ve dvou dimenzích

Dosud mapa zahrnovala jednu proměnou X , jejíž hodnota se měnila s každou iterací rovnice. Takové mapy jsou nazývány jednodimenzionální, neboť o hodnotách X lze říct, že leží podél křivky a křivka je jednodimenzionální objekt. Při vyhodnocování každé hodnoty X v závislosti na předcházející hodnotě X se křivka může značně složitě proměňovat; stále ovšem zůstane křivkou.

Situace se stane zajímavější, použijeme-li iterační mapu zahrnující dvě proměnné ( X a Y ).V takovém případě iterace vytvoří bod na ploše, kde X podle zvyklostí představuje horizontální souřadnice bodu a Y reprezentuje vertikální souřadnice. Při následných iteracích body vyplní část plochy. Vizuálně zajímavé jsou, jak jinak, právě body chaotické.

Pravděpodobně nejznámější chaotickou dvojdimenzionální mapou je Hénonova mapa , jejíž rovnice jsou:

<math>X_{n+1}=1+aX_n^2+bY_n \\ Y_{n+1}=X_n</math>

kde a a b jsou kontrolní parametry, obdobně jako R v logistické rovnici. Hénon použil hodnoty a=-1,4 a b=0,3 . Nezbytná nelinearita je poskytnuta výrazem X2 v první rovnici. Narozdíl od logistické rovnice je Hénonova mapa neinvertovatelná – máme jedinečné hodnoty pro Xn a Yn odpovídající každé Xn+1 a Yn+1 .

Výsledný graf je více než křivka, ale méně než plocha. Každá křivka se rozloží na dvojici křivek a z nich každá na další pár, atd. Tato sobě podobnost je obecně charakteristická pro třídu objektů, které se nazývají fraktály . Některé fraktály jsou zcela sobě podobné, což znamená, že vypadají stejně bez ohledu na zvětšení. Další (většina v této prezentaci) mají jen sobě podobné oblasti. Téměř všechny chaotické atraktory jsou fraktály, ale nikoliv všechny fraktály vzešly z chaotických atraktorů.

Hénonova mapa vytváří objekt s fraktální dimenzí , což je zlomek s hodnotou mezi 1 a 2. Fraktální dimenze je vhodná veličina charakterizující chaotické atraktory. Samostatné body mají dimenzi 0, křivkové segmenty mají dimenzi 1, povrchy dimenzi 2 a tělesa mají dimenzi 3. Chaotické atraktory obecně mají neceločíselnou dimenzi.

Poněvadž Hénonova mapa má člen nejvyššího stupně X2 , jedná se o kvadratickou mapu. Nejobecnější dvojdimenzionální iterační kvadratická mapa je

<math>X_{n+1}=a_1+a_2X_n+a_3X_n^2+a_4X_nY_n+a_5Y_n+a_6Y_n^2 \\ Y_{n+1}=a_7+a_8X_n+a_9X_n^2+a_{10}X_nY_n+a_{11}Y_n+a_{12}Y_n^2</math>

Rovnice 4.1.2 mají 12 koeficientů. Pro Hénonovu mapu je a1=1, a3=-1,4, a5=0,3, a8=1 a ostatní koeficienty jsou nula. Použijeme-li počáteční písmeno E pro popis dvojdimenzionální kvadratické mapy, kód pro Hénonovu mapu podle tabulky 3.1 je EWM?MPMMWMMMM.

Revidovaný motýlí efekt

Dvojdimenzionální chaotické iterační mapy také vykazují citlivost na počáteční podmínky, ale řešení je složitější než u jednodimenzionálních map. Představme si soubor počátečních podmínek (bodů) vyplňující malou kruhovou oblast na ploše XY . Během iterací se body posunou na nové pozice na ploše, ale již budou zaujímat elipsovitou oblast. Při každé iteraci bude oblast elipsovitější.

Dvojdimenzionální chaotické mapy mají totiž dva Ljapunovovy exponenty – kladný, odpovídající směru expanze, a záporný představující směr kontrakce. Příznak chaosu je alespoň jeden kladný Ljapunovův exponent. Navíc velikost záporného exponentu musí být větší než kladného tak, že počáteční podmínky jsou rozptýleny po celé oblasti přitažení zúžené na atraktor, který zabírá zanedbatelnou část plochy. Obsah elipsy se neustále zmenšuje, i když je roztahována na nekonečnou délku.

Pro výpočet Ljapunovových exponentů použijeme jednodušší metodu, která spočívá v určení největšího Ljapunovova exponentu, což je vše, co potřebujeme pro testování chaosu. Vezmeme dvě libovolné, ale blízké počáteční podmínky. První iterace mapy mohou způsobit sblížení nebo naopak vzdálení bodů od sebe (záleží na výchozí poloze těch dvou bodů). Případně body půjdou libovolně blíž ve směru kontrakce, ale budou se neustále vzdalovat ve směru expanze. Tedy jestliže počkáme dostatečně dlouho, poměr separace bude řízen jenom největším Ljapunovovým exponentem (což nastane již po pár iteracích).

Protože však separace pro chaotický systém roste exponenciálně, pro správný odhad exponentu se body příliš rychle vzdálí od sebe. Tento problém lze napravit, jestliže po každé iteraci vrátíme body do jejich původní vzdálenosti. Ljapunovův exponent poté určíme jako průměr vzdálenosti, o kterou musí být body přesunuty pro každou iteraci (pro udržení konstantní malé separace). Jestliže jsou dvě řešení separována vzdáleností dn po n -té iteraci a separace po další iteraci je dn+1 , pak Ljapunovův exponent je určen z rovnice

<math>L=\sum{\log_2{(d_{n+1}/d_n)}}/N</math>

kde vezmeme sumu přes všechny iterace od n=0 do n=N-1 .

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG4 2 1.png
Dvojdimenzionální kvadratická mapa
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG4 2 2.png
Dvojdimenzionální kvadratická mapa
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG4 2 3.png
Dvojdimenzionální kvadratická mapa
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG4 2 4.png
Dvojdimenzionální kvadratická mapa
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG4 2 5.png
Dvojdimenzionální kvadratická mapa

Fraktální dimenze

Předešlé obrázky ukázaly, jak moc se jednotlivé atraktory liší podle zaplnění plochy. Dobré porovnání poskytly obrázky 4.5 a 4.6. Je to tím, že objekt na obrázku 4.5 má fraktální dimenzi blízkou 1, zatímco objekt na obrázku 4.6 má fraktální dimenzi blíže 2.

Je možné spočítat fraktální dimenze přesně. Uvažujme dva jednoduché případy – v jednom následné iterace leží rovnoměrně podél přímky – diagonály stránky, a v druhém následné iterace postupně zaplní celou plochu. První případ má dimenzi 1, druhý dimenzi 2. Jedna z metod, jak spočítat dimenzi danou souřadnicemi X a Y libovolných kolekcí takových bodů, je namalovat na plochu malý kruh (čtverce, trojúhelníka, …), který obklopuje aspoň jeden z bodů. Potom nakreslíme další kruh se stejným středem, ale s dvojnásobným poloměrem. Nakonec spočítáme body uvnitř každého kruhu. Řekněme, že menší kruh uzavřel N1 bodů a větší kruh N2 bodů. Zřejmě N2 ≥ N1 . Jestliže jsou body široce separované, pak N2=N1 . Jestliže jsou body částí přímky, pak větší kruh uzavře průměrně 2x více bodů než menší kruh, ovšem jsou-li body částí plochy, pak větší kruh průměrně uzavře 4x více bodů než menší, protože obsah kruhu je úměrný druhé mocnině poloměru. Čili pro tyto jednoduché případy je dimenze Slovem dimenze označujeme více věcí. Mapy, které právě probíráme, jsou dvojdimenzionální, protože mají dvě proměnné X a Y. Nicméně, atraktor má menší dimenzi. Říkáme, že atraktor je vložen do dvojdimenzionálního prostoru. dána vztahem

<math>L=\sum{\log_2{N_2/N_1}}</math>

Atraktor obvykle vyplňuje zanedbatelnou část povrchu, do kterého je vložen. Proto je nazýván atraktor! Body, zpočátku rozložené po povrchu, se vykreslí na atraktor až po několika iteracích a zbylý povrch zůstane prázdný. Čili obsah atraktoru vsazeném do dvojdimenzionálního povrchu je 0, stejně tak objem atraktoru v trojdimenzionálním povrchu je 0, atd.

Je také zajímavé, že fraktální dimenze a Ljapunovovy exponent nejsou zcela nezávislé:

<math>F=1-L_1/L_2</math>

kde L1 je kladný exponent. Jestliže známe oba Ljapunovovy exponenty, rovnice 4.3.2 může být použita pro definování dimenze atraktoru nazývané Ljapunovova dimenze (resp. Kaplan-Yorkova dimenze ).

S vyššími řády větší zmatek

U jednodimenzionálních map byly atraktory vizuálně zajímavější při uvažování výrazů vyšších než kvadratické. To platí i u dvojdimenzionálních map. Například nejobecnější rovnice pro dvojdimenzionální kubickou mapu je:

<math>X_{n+1} = a_{1} + a_{2}X_{n} + a_{3}X_{n}^{2} + a_{4}X_{n}^{3} + a_{5}X_{n}^{2}Y_{n} + \\ + a_{6}X_{n}Y_{n} + a_{7}X_{n}Y_{n}^{2} + a_{8}Y_{n} + a_{9}Y_{n}^{2} + a_{10}Y_{n}^{3} \\ Y_{n+1} = a_{11} + a_{12}X_{n} + a_{13}X_{n}^{2} + a_{14}X_{n}^{3} + a_{15}X_{n}^{2}Y_{n} + \\ + a_{16}X_{n}Y_{n} + a_{17}X_{n}Y_{n}^{2} + a_{18}Y_{n} + a_{19}Y_{n}^{2} + a_{20}Y_{n}^{3}</math>

Všimněme si, že u dvojdimenzionálních kubických map máme 20 koeficientů, které nesmírně zvyšují počet možných kombinací. Výrazy čtvrtého stupně budou mít 30 koeficientů a pátého stupně 42 koeficientů. Tedy dvojdimenzionální mapa stupně O(O+1)(O+2) koeficientů.

Případy kubické, čtvrtého a pátého stupně budou mít dle našeho schématu kód F, G a H.

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG4 4 3.png
Dvojdimenzionální mapa čtvrtého stupně
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG4 4 4.png
Dvojdimenzionální mapa čtvrtého stupně
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG4 4 5.png
Dvojdimenzionální mapa pátého stupně
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG4 4 6.png
Dvojdimenzionální mapa pátého stupně
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG4 4 7.png
Dvojdimenzionální mapa pátého stupně
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG4 4 8.png
Dvojdimenzionální mapa pátého stupně

V jakém smyslu jsou tyto objekty atraktory? Vybereme počáteční podmínky X a Y někde blízko atraktoru, uvnitř oblasti přitažení. Nahradíme tyto hodnoty v rovnici, která popisuje atraktor, novými hodnotami X a Y představujícími bod na ploše, který je blíže atraktoru. Po několika iteracích si body najdou cestu k atraktoru a potom se rozmístí složitým způsobem na atraktoru, případně navštíví každou část atraktoru. Ze současné pozice můžeme další pozici vždy lehce a přesně předpovědět, ovšem stále nám malá a nevyhnutelná neurčitost v pozici narůstá. Proto nelze provézt dlouhodobou předpověď (kromě tvrzení, že bod je někde na atraktoru). Můžeme atraktor považovat za množinu všech možných dlouhodobých řešení rovnice, která je vytváří.

Také je zajímavé, že každý atraktor obsahuje nekonečně mnoho periodických řešení, které se nazývají periodické orbity . Začneme-li z jakéhokoliv místa na atraktoru, tak je možné, že se přesně vrátíme na startovací bod. To naznačuje periodickou orbitu s periodou rovnající se počtu iterací potřebných k dosažení návratu (leč tyto periody jsou velmi velké). Tento výsledek se nazývá Poincaréův rekurentní teorém . Každý bod na atraktoru je libovolně blízko takovéto periodické orbitě, ale šance, že náhodně zvolený bod na atraktoru leží na takovéto orbitě, je nekonečně malá.

Z jedné dva

Všechny jednodimenzionální mapy popsané v předešlé kapitole jsou zahrnuty ve dvojdimenzionálních případech. Je jen nutné položit koeficienty u proměnné Y v rovnici rovny nule. Například dvojdimenzionální mapa ekvivalentní logistické rovnici je zadána kódem EMu%MMMMMMMMM. Ale protože se Y nemění s postupnými iteracemi, grafem Y v závislosti na X je jednoduše horizontální přímka.

K zobrazení logistické paraboly je zapotřebí nahradit Xn následnou iterací Xn+1 a Y nahradit druhou iterací Xn+2 . Dvě po sobě jdoucí iterace kvadratické mapy vyžadují rovnici čtvrtého stupně. Kódové zadání pro tento případ je GMu%M13NHUIM10 (M13 znamená 13x M, obdobně M10 je 10x M v zadání).

Další příklad dvojdimenzionální mapy, která je vlastně skrytě jednodimenzionální: předpokládejme, že Xn+1 závisí jenom na Yn a Yn+1 závisí jenom na Xn . Potom Xn+2 závisí jenom na Xn a máme jednodimenzionální mapu pro X , ve které je Y střední hodnota X . Nejobecnější příklad polynomu pátého stupně pro tento případ je:

<math>X_{n+1} = a_{1} + a_{17}Y_{n} + a_{18}Y_{n}^{2} + a_{19}Y_{n}^{3} + a_{20}Y_{n}^{4} + a_{21}Y_{n}^{5} \\ Y_{n+1} = a_{22} + a_{23}X_{n} + a_{24}X_{n}^{2} + a_{25}X_{n}^{3}+ a_{26}X_{n}^{4}+ a_{27}X_{n}^{5}</math>

Zbylých 30 koeficientů je rovno nule. Výsledkem je jednodimenzionální polynomiální mapa 25. stupně zobrazena ve dvou dimenzích.

Téměř atraktory

Nikoliv všechny chaotické rovnice vytvářejí chaotické atraktory. Za určitých podmínek se postupné iterace rovnice chaoticky odchýlí od oblasti plochy. Není zde žádná oblast přitažení. Počáteční podmínky, které jsou blízko, ale vně chaotické oblasti, se nevykreslí do oblasti, ale budou ležet spíše na uzavřených křivkách. Ačkoliv chaotická oblast není chaotický atraktor, může být po vizuální stránce značně krásná.

Pro chaotická řešení, která neatraktují, musí oblast vytvořená shlukem blízkých počátečních podmínek po iteracích zůstat stejná. Shluk se obecně smršťuje v jednom směru a roztahuje v druhém, ale kontrakce a expanze se vyruší a vytvoří dlouhé tenké vlákno konstantního obsahu. Charakteristické pro tento případ je rovnost obou Ljapunovových exponentů (až na znaménko). Takový systém je systém s uzavřenou oblastí . Významným příkladem třídy systémů s uzavřenou oblastí jsou Hamiltonovy systémy s jejich odpovídající symplectickou mapou.

Šance, že neúmyslně nalezneme řešení s uzavřenou oblastí u rovnic s náhodně vybranými koeficienty, je v podstatě nulová. Avšak uplatněním patřičných podmínek na koeficienty si taková řešení můžeme zajistit. Následující rovnice je příklad dvojdimenzionální polynomické mapy s uzavřenou oblastí:

<math>X_{n+1} = a_{1} + a_{2}X_{n} + a_{3}X_{n}^{2} + a_{4}X_{n}^{3} + a_{5}X_{n}^{4} + a_{6}X_{n}^{5} ± Y_{n} \\ Y_{n+1} = a_{22} ± X_{n}</math>

Tato mapa je pátého stupně se sedmi libovolnými koeficienty, které zajistí velký počet řešení. Označení koeficientů je shodné s obecnou dvojdimenzionální mapou pátého stupně, ve které je 33 koeficientů rovno nule. Dva výrazy uvedené ± mají koeficienty rovny buď +1 nebo -1. Díky tomuto získáme řešení s uzavřenou oblastí. Jestliže jsou znamínka stejná (obě + nebo -), pak chaotická řešení nenastanou.

Obrázky 4.15 až 4.17 ukazují jednoduché chaotické symplectické mapy. Byly vytvořeny za použití počátečních hodnot X=Y=0,05 . Jiné počáteční podmínky mohou vytvořit úplně rozdílné obrázky, protože se nejedná o atraktory.

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG4 6 1.png
Dvojdimenzionální symplectická mapa pátého stupně
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG4 6 2.png
Dvojdimenzionální symplectická mapa pátého stupně
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG4 6 3.png
Dvojdimenzionální symplectická mapa pátého stupně

Atraktory ve 3D

Rozšíříme techniky popsané v minulé kapitole na třetí dimenzi. Zaměříme se na tvorbu prostorových trojdimenzionálních atraktorů.

Třetí souřadnice

Metoda hledání atraktorů ve třetí dimenzi je úplně stejná, jako ve dvojdimenzionálních případech, až na uvedení třetí proměnné Z ke stávajícím X a Y .

Nejjednodušší systém rovnic, který vytváří chaotický atraktor trojdimenzionálního prostoru, je množina kvadratických rovnic. Nejobecnější jsou

<math>X_{n+1} = a_{1} + a_{2}X_{n} + a_{3}X_{n}^{2} + a_{4}X_{n}Y_{n} + a_{5}X_{n}Z_{n} + \\ + a_{6}Y_{n} + a_{7}Y_{n}^{2} + a_{8}Y_{n}Z_{n} + a_{9}Z_{n} + a_{10}Z_{n}^{2} \\ Y_{n+1} = a_{11} + a_{12}X_{n} + a_{13}X_{n}^{2} + a_{14}X_{n}Y_{n} + a_{15}X_{n}Z_{n} + \\ + a_{16}Y_{n} + a_{17}Y_{n}^{2} + a_{18}Y_{n}Z_{n} + a_{19}Z_{n} + a_{20}Z_{n}^{2} \\ Z_{n+1} = a_{21} + a_{22}X_{n} + a_{23}X_{n}^{2} + a_{24}X_{n}Y_{n} + a_{25}X_{n}Z_{n} + \\ a_{26}Y_{n} + a_{27}Y_{n}^{2} + a_{28}Y_{n}Z_{n} + a_{29}Z_{n} + a_{30}Z_{n}^{2}</math>

Tyto rovnice mají 30 koeficientů, které nám dovolují vytvořit nesmírné množství atraktorů. Počet koeficientů pro rovnice stupně O je dán vztahem (O+1)(O+2)(O+3)/2 – tedy kubické trojdimenzionální mapy mají 60 koeficientů, čtvrtého stupně 105, pátého stupně 168, atp. Kódy do zadání pro systémy stupně dva až pět ve třetí dimenzi jsou počáteční znaky I, J, K a L.

V případě map pátého stupně se 168 koeficienty máme 25168, tj. 10234 kombinací, což je opravdu astronomické číslo. I kdyby jen zlomek z těchto kombinací vedl k zřetelně odlišným chaotickým atraktorům, stále by výsledný počet přesáhl 1079. Proto počet trojdimenzionálních chaotických atraktorů pátého stupně je v podstatě nekonečný.

3D ve 2D

Jak můžeme zobrazit 3D objekt ve 2D? Jeden způsob je ignorování jedné z proměnných a vykreslením bodů ve zbývajících dvou dimenzích. Při této metodě – projekce – je ovšem ztraceno mnoho informací o atraktoru. Tato metoda se ve výsledku moc neliší od dvojdimenzionálních případů atraktorů.

Další metoda spočívá v použití stínu . Stíny nám už pomohou si představit postavení atraktoru v prostoru.

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG5 2 1S.png
Trojdimenzionální kvadratická mapa se stínem
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG5 2 2S.png
Trojdimenzionální kvadratická mapa se stínem

Barva je další nástroj, který pomůže při vizualizaci 3D světa do 2D. Vzdálenější body lze vykreslit jinými barvami, než objekty blízké.

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG5 2 1.png
Trojdimenzionální kvadratická mapa
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG5 2 2.png
Trojdimenzionální kvadratická mapa
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG5 2 3.png
Trojdimenzionální kvadratická mapa
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG5 2 4.png
Trojdimenzionální kvadratická mapa
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG5 2 6.png
Trojdimenzionální mapa čtvrtého stupně
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG5 2 7.png
Trojdimenzionální mapa čtvrtého stupně
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG5 2 8.png
Trojdimenzionální mapa pátého stupně

Další způsob pro zobrazení objektů ve 3D je použitím stereogramů , stereoskopického zobrazení , které vytvářejí obraz zvlášť pro každé oko, a tím vytvoří iluzi hloubky. Mezi nejběžnější způsoby patří anaglyph . Za použití speciálních brýlí (červené sklíčko pro levé oko a modré pro pravé) a obrázku upraveného pro anaglyph je možné pozorovat objekty vystupující z podkladu. Tento proces byl zdokonalen použitím polarizovaného světla.

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG5 2 1A.png
Trojdimenzionální kvadratická mapa upravená pro anaglyph

Stereo páry je další metoda. S trochou praxe je možné vidět atraktory stereoskopicky ve 3D i bez použití speciálních pomůcek. V tomto případě položíme dva obrázky vedle sebe ve stejné barvě (vzdálenost by neměla být větší než vzdálenost očí, průměrně 6,5cm). Pokud nyní zašilháme tak, aby každé oko se snažilo sledovat svůj vlastní obrázek, po chvíli se nám uprostřed začne vytvářet prostorové zobrazení atraktoru.

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG5 2 1SP.png
Trojdimenzionální kvadratická mapa upravená pro stereo pár

Poslední metodou zde zmíněnou je rozdělení atraktoru do vrstev . Tento způsob je výhodnější pro zobrazení atraktorů velké dimenze.

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG5 2 1V.png
Trojdimenzionální mapa pátého stupně ve vrstvách

Žádný z popsaných způsobů neposkytne skutečné trojdimenzionální zobrazení, ale dokáží podat postačující iluzi 3D. Samozřejmě, pro plnohodnotné 3D by bylo zapotřebí holografického displeje.

Čtvrtá dimenze

Zatímco obecně se s třetí dimenzí končí, chaotické atraktory mohou být vloženy do prostoru čtvrté, páté, dokonce i vyšších dimenzí. Jejich výpočet je přímým rozšířením minulého. Zajímavé je ovšem zobrazení těchto objektů vysoké dimenze.

Hyperprostor

Vyjasněme si nejdříve některé pojmy. Běžný prostor je trojdimenzionální. Každý bod v tomto prostoru může být charakterizován množinou tří čísel. Objekty s dimenzí rovnou třemi nebo menší můžeme snadno zobrazit.

Nejlepším příkladem jednodimenzionálního objektu je přímka. Přímka může vést k nekonečnu v obou směrech, nebo mít své konce. Přímka je stále jednodimenzionální, i když se zkřiví – stane se z ní křivka. Tvrdíme-li, že křivka je jednodimenzionální objekt, máme na mysli její topologickou dimenzi . Naproti tomu Euklidovská dimenze je dimenze prostoru, do kterého je křivka vložena. Jedná-li se o přímku, jsou obě dimenze rovné jedné, pokud je to křivka, pak Euklidovská dimenze musí být větší než topologická.

Jedna z definic fraktálů říká, že fraktál je objekt, jehož fraktální dimenze překračuje jeho topologickou dimenzi (např. v případě křivky, znázorňující pobřeží, bude topologická dimenze jedna, Euklidovská dva a fraktální mezi jedničkou a dvojkou). Prostory libovolné dimenze se nazývají manifoldy .

Čtyřdimenzionální prostor je takový prostor, kde každá dimenze má rovnocenné postavení. Tento závěr vychází z teorie relativity, se kterou je spjato nahlížení na čtvrtou dimenzi jako na čas. Popis této teorie ovšem překračuje rámec této prezentace.

Příklad čtyřdimenzionálního objektu je například hyperkostka – čtyřdimenzionální rozšíření trojdimenzionální krychle (kostky) a dvojdimenzionálního čtverce.

Matematické zobecnění z tří do čtyř dimenzí je zřejmé. Místo tří proměnných – X , Y , Z – máme nyní čtyři. Označme čtvrtou W . Nesmíme zapomenout, že všechny dimenze jsou si rovnocenné! Použijeme M, N, O a P jako první písmena v našem kódovém zadání pro zobrazení 4D atraktorů druhého až pátého stupně. Počet koeficientů těchto případů je 60, 10, 280 a 504, tedy počet koeficientů pro řád O je (O+1)(O+2)(O+3)(O+4)/6 . Počet 4D atraktorů pátého stupně je 25504, což je tak ohromné číslo, že ho můžeme považovat za nekonečno.

Zobrazení čtyřdimenzionálního prostoru ve dvojdimenzionálním vyžaduje použití technik, popsané v minulé kapitole; pomocí jejich kombinací souběžně zobrazíme čtvrtou dimenzi. Lze použít kombinace např. stínu a barvy, stínu a vrstvení, barvy a stereo páry, barvy a vrstvení, anaglyphu a vrstvení, atp.

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG6 1 1.png
Čtyřdimenzionální kvadratická mapa
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG6 1 2.png
Čtyřdimenzionální kvadratická mapa
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG6 1 3.png
Čtyřdimenzionální kvadratická mapa
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG6 1 4.png
Čtyřdimenzionální kvadratická mapa
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG6 1 5.png
Čtyřdimenzionální kvadratická mapa
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG6 1 6.png
Čtyřdimenzionální kvadratická mapa
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG6 1 8.png
Čtyřdimenzionální mapa čtvrtého stupně

Pořádek místo chaosu

V této části se budeme věnovat rovnicím, u nichž hodnoty (body) iterací jsou postupné, a nikoliv neočekávané – chaotické. Tyto rovnice jsou diferenciální rovnice a jsou základem mnoha dynamických systémů popisující přírodní procesy. Atraktor, který je výsledkem takovýchto rovnic, má značnou vizuální atraktivitu.

Trajektorie a směr

Postupné iterace map z předchozích části jsou na atraktoru obvykle daleko od sebe. Body se náhodně objevují po celém atraktoru, až nakonec postupně vyplní každou lokaci. Většina dějů se ovšem v přírodě takhle nevyskytuje, ale naopak vyvíjí se pomalu a spojitě, z počáteční podmínky přes posloupnost blízkých přechodných stavů, až ke konečnému výsledku.

Je možné najít souvislost mezi průběhem a mapami – představme si mouchu v místnosti, která se pohybuje složitým a náhodným způsobem. Její trajektorie je jednodimenzionální spojitá křivka, která nakonec vyplní celý pokoj. Avšak budeme-li pozorovat blikající mouchu, trajektorie je posloupnost samostatných bodů. Body také nakonec vyplní celou místnost, ale nastane to mnohem později. Jenomže pokud bude pohyb mouchy chaotický, a nikoliv náhodný, pak ani křivka ani body nevyplní pokoj – přesněji řečeno, budou ležet na chaotickém atraktoru, který zaujímá zanedbatelnou část prostoru pokoje. Atraktor skládající se ze všech možných bodů má menší dimenzi , než atraktor skládající se ze všech možných křivek. Proto můžeme mapu považovat za hrubý popis průběhu, u kterého jsou detaily pohybu ignorovány.

Diferenciální rovnice se zabývají rychlostí změny kvantity. Dále se budeme zabývat jen obyčejnými diferenciálními rovnicemi ( ODE – ordinary differential equations ). Dynamické systémy popsané pomocí ODE postihují časovou rychlost změny pozice bodu ve stavovém prostoru. Kromě ODE existují ještě parciální diferenciální rovnice ( PDE – partial differential equations ).

Mějme objekt pohybující se ve směru X . Jeho rychlost je rychlost změny jeho pozice X’ (=dX/dt ). Pohybuje-li se objekt ve trojdimenzionálním prostoru, pak se konstantně mění hodnota nejenom X , ale i Y a Z . Mimoto, X‘ , Y‘ a Z‘ obvykle závisí na pozici ( X , Y a Z ). Například částice, pohybující se ve směru hodinových ručiček po kruhu kolem počátku v rovině XY , je popsána následující dvojicí diferenciálních rovnic:

<math>X’ = Y \\ Y’ = -X</math>

Dvojdimenzionální systém diferenciálních rovnic (jako např. rovnice 7.1.1) nemůže vyjadřovat chaos, protože se trajektorie nemohou navzájem křížit. Nejkomplikovanější ohraničené chování je uzavřená smyčka odpovídající periodickému pohybu. Důvod, proč se trajektorie nemohou navzájem křížit, spočívá v tom, že každý bod v rovině

XY je spojen se svým jedinečným směrem pohybu. Tedy trajektorie musí dosáhnout a opustit každý bod v určitém směru. Jestliže by se orbita vrátila do předešlého bodu, musela by zopakovat to, co udělala před tím. Ve dvou dimenzích může orbita dělat jenom jednu ze tří věcí: točit se kolem pevného bodu, dosáhnout stabilního limitního cyklu, nebo vytočit se do nekonečna.

Trajektorie by se mohly křížit, jestliže by se dostaly velmi blízko k pevnému bodu, který je stabilní v jednom směru a nestabilní v druhém. Tento bod se někdy nazývá prahový bod nebo bod X (kvůli jeho tvaru). Taková trajektorie se nazývá separatrix , protože odděluje dvě oblasti s rozdílným směrem. Trajektorie přibližující se k pevnému bodu z jedné strany separatrixu vybočují doprava, a ty trajektorie, které se blíží z druhé strany, pak vybočují doleva.

Ve třech dimenzích se také trajektorie nikdy nepřekříží, ale budou vytvářet velmi komplikovaný nikdy nekončící zmatek. Naproti tomu, mapy mohou být chaotické v jedné nebo ve dvou dimenzích, protože body skáčou z jednoho místa na druhé s malým nebezpečím křížení jiného bodu.

Prof. Lorenz a dr. Rössler

Ačkoliv jsou diferenciální rovnice matematickým základem pro většinu popisů přírody již stovky let, téměř nikoho nenapadlo, že výsledné trajektorie těchto řešení mohou být chaotický atraktor. Jedním z mála lidí, kteří si toto uvědomili, byl profesor Lorenz, jehož známé

Lorenzovy rovnice jsou:

<math>X’ = \sigma (Y - X) \\ Y’ = -XZ + rX - Y \\ Z’ = XY - bZ</math>

kde σ , r a b jsou konstanty, kterým Lorenz přiřadil σ=10 , r=28 a b=8/3 .

Další, kdo velmi přispěl v této oblasti, je doktor Rössler, který přišel s ještě jednoduššími rovnicemi, známe jako Rösslerovy rovnice :

<math>X’ = -(Y + Z) \\ Y’ = X + aY \\ Z’ = b + Z(X - c)</math>

kde a , b a c jsou konstanty, kterým Rössler přiřadil a=0,2 , b=0,2 a c=5,7 . Rösslerovy rovnice jsou často popisovány jako nejjednodušší známý příklad chaosu vyplývající z obyčejných diferenciálních rovnic.

Implementace řešení rovnic ODE

Některé diferenciální rovnice, jako například rovnice 7.1.1, mohou být řešeny jasným přímočarým výpočetním způsobem. Nicméně, pokud se v systému rovnic vyskytne chaos, pak takový postup nefunguje. Důvodem je to, že žádná matematická funkce podobná sinu nebo cosinu nemůže popsat chaotický atraktor takovým způsobem, jakým tyto funkce popisují kruh. Rovnice musejí být řešeny počítačem. Říkáme, že takové rovnice jsou početně opačné k analytickým.

Naneštěstí jsou digitální počítače, narozdíl od iterování map, nevhodné pro přesné spočítání diferenciálních rovnic. Rovnice vyžadují pomalé a jemné postupy při řešení. Tzn., že následné iterace se musí lišit nekonečně malým rozdílem, tedy je potřeba nekonečně mnoho iterací k vůbec nějakému postupu. Pro tento účel byly vytvořeny analogové počítače, které nejsou ale příliš běžné, ani jednoduché naprogramovat. Pro zaimplementování metod je zapotřebí použít aproximace pomocí konečných diferencí diferenciální rovnice.

Pravděpodobně nejjednodušší a nejzřetelnější metodou pro nalezení aproximovaného řešení diferenciálních rovnic je Eulerova metoda . Aplikujeme-li tuto metodu na jednoduchý příklad rovnice 7.1.1, X a Y jsou rozvinuty do

<math>X_{n+1} = X_{n} + \varepsilon Y_{n} \\ Y_{n+1} = Y_{n} - \varepsilon X_{n}</math>

kde ε je časový krok. V ideálním případě by ε měl být zanedbatelně malý, ale ve skutečnosti je co největší, aby se snížil počet iterací potřebných pro postup rovnice o podstatnou vzdálenost po trajektorii. Můžeme si všimnout, že Eulerova metoda je dalším příkladem iterování map, ve kterých jsou následné iterace samy sobě blízké. Je to asi nejméně přesná metoda pro řešení diferenciálních rovnic, ovšem pro naše účely – interaktivní grafický výstup diferenciálních rovnic – je tato metoda dostačující. V našem případě jsem zvolil ε=0,1 a trojdimenzionální rovnice jsou polynomiální až do pátého řádu s koeficienty vybranými podobně jako v předešlých částech. Diferenciálními rovnicemi menšími než třetí dimenze nemá cenu se zabývat, protože nemají chaotické řešení. ODE rovnice druhého až pátého řádu jsou zakódovány dle našeho schématu počátečními písmeny Q, R, S a T.

Podstatná část (zhruba 20%) z náhodně nalezených atraktorů nejsou chaotické a některé jsou dokonce neohraničené; uzavřené smyčky jsou těžko rozeznatelné od limitních cyklů, spirály od pevných bodů, nebo úplně zmizí z obrazovky.

ODE rovnice, stejně jako mapy, mohou být zobrazené ve 2D, 3D, 4D, atp. s využitím všech technik, které jsme si již popsali. Ve čtvrté dimenzi jsou kvadratické, kubické, čvrtého a pátého řádu ODE rovnice zakódovány prvními písmeny U, V, W a X.

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG7 2 3.png
Trojdimenzionální kvadratická ODE
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG7 2 5.png
Trojdimenzionální ODE čtvrtého řádu
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG7 2 6.png
Trojdimenzionální ODE pátého řádu

Atraktory bez chaosu

Ve čtvrté kapitole jsme se mj. zaměřili na chaotické orbity, které se ovšem nestaly atraktory. Na následujících řádcích si popíšeme nechaotické orbity, které se stanou atraktory, které nejsou chaotické. Tyto atraktory nejsou fraktály. Jelikož některé jsou vizuálně přitažlivé, stojí za to je zobrazit, i když se přímo netýkají tématu této prezentace.

Tyto atraktory mohou vzniknout jak z map, tak i z diferenciálních rovnic. Nejjednodušší nechaotický atraktor je bodový atraktor. Modifikujeme-li rovnici 7.1.1, pak řešení nebude kruh, ale spirála směrem dovnitř. Jeden ze způsobů úpravy je:

<math>X’ = Y - bX \\ Y’ = -X - bY</math>

Můžeme považovat koeficient b jako tlumící sílu , která případně nasměruje trajektorii ke zbytku v počátku ( X=Y=0 ) ve fázovém prostoru. Jestliže je b=0 (bez tlumení), pak je orbita kruh. Záporné hodnoty b zapříčiní, že řešení bude spirála směrem ven blížící se nekonečnu. Takový případ se shoduje s bodovým odpuzovačem v počátku. Přitažlivý pevný bod se nazývá nora a odpuzující pevný bod pak zdroj . Někteří autoři raději ponechávají termín pevný bod jen mapám a pevné řešení rovnic ODE nazývají kritické nebo rovnovážné body .

Jestliže je b=0 v jedné z rovnic, pak malé kladné hodnoty dalšího b zapříčiní, že poloměr kruhu se pomalu zmenší a přiblíží se k tzv. atraktoru spirálového bodu nebo ohniskového bodu nebo jednoduše ohnisku . Větší kladné hodnoty b zapříčiní rychlé zmenšení poloměru. U velmi velkých hodnot b je malá cirkulace kolem bodu a trajektorie se radiálně přibližuje k uzlovému bodu nebo jednoduše uzlu .

Bodový atraktor je nejjednodušší typ nechaotického atraktoru. Dimenzi má nulovou. Atraktor také může mít dimenzi jedna, což je pak křivka. Takové atraktory jsou limitní cykly. Odpovídají systémům, které se ustálí v periodickém nebo cyklickém chování. Proto se takovým atraktorům také říká cyklické atraktory .

Nejjednodušší diferenciální rovnice, jejímž výsledkem je cyklická trajektorie, jsou rovnice 7.1.1. Výsledná orbita je kruh v rovině XY . Tento případ nicméně není atraktor, protože každá počáteční podmínka produkuje kruhovou trajektorii, jejíž poloměr je vzdálenost počátečního bodu od počátku. Není zde žádný jedinečný kruh, ke kterému by byly blízké orbity přitahovány, a tedy zde není žádná oblast přitažení.

Pro vytvoření stabilního limitního cyklu potřebujeme systém rovnic, jejichž řešení se vytočí ven z vnitřních počátečních podmínek a stočí dovnitř z vnějších počátečních podmínek atraktoru. Vhodná množina takových rovnic je:

<math>X’=Y+(1-X^{2}-Y^{2})X \\ Y‘=-X+(1-X^{2}-Y^{2})Y</math>

Výraz (1 – X2 – Y2) zastupuje -b v rovnici 7.4.2. Kdykoliv leží trajektorie uvnitř kruhu o poloměru jedna, vytočí se ven, a kdykoliv je trajektorie mimo, pak se stočí dovnitř. Čili limitní cyklus je definován kružnicí X2 + Y2 = 1 . V počátku je bodový odpuzovač a oblast přitažení je celá rovina XY .

Stejně jako pevné body, tak i limitní cykly mohou být stabilní nebo nestabilní. Jednodušší varianta rovnice 7.4.2, která vytváří stabilní limitní cyklus (i když nesymetrický), je následující:

<math>X’ = Y \\ Y‘=-X+(1-X^{2})Y</math>

Tento systém se nazývá Van der Polova rovnice .

Pro poznání limitních cyklů je lepší jako měřítko použít Ljapunovův exponent namísto dimenze. Ve dvojdimenzionálním prostoru máme dva Ljapunovy exponenty. Menší z nich je rychlost, za kterou trajektorie s různými počátečními podmínkami dosáhnou atraktoru. Větší exponent (ten, který je zobrazen v interaktivní části) je odhad, který ze dvou blízkých bodů limitního cyklu se oddělí. Pro limitní cykly tvořené ODE musí být tento exponent roven nule, protože body podél trajektorie jsou řízeny stejnou rychlostí průběhu, až na zpoždění v čase.

Limitní cykly se nemohou ve dvou dimenzích křížit, proto nejsložitější útvary jsou jen jednoduché zdeformované smyčky. Ve třetí nebo vyšší dimenzi se ovšem mohou již motat a vinout kolem dokola.

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG7 4 1.png
Trajektorie blížící se atraktoru spirálového bodu
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG7 4 2.png
Trajektorie blížící se atraktoru uzlového bodu
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG7 4 3.png
Trajektorie blížící se bodovému atraktoru
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG7 4 4.png
Limitní cyklus z trojdimenzionální kvadratické mapy
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG7 4 5.png
Limitní cyklus z trojdimenzionální kvadratické ODE
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG7 4 6.png
Limitní cyklus z trojdimenzionální kubické ODE

Další možnosti

Systémy rovnic vykazující chaos musí obsahovat alespoň jeden nelineární člen. V předešlých příkladech nelinearitu zahrnovaly jednoduché polynomy. Takovými polynomy lze modelovat ohromné množství fyzikálních jevů. Ve skutečnosti všechny nelineární funkce mohou být zaokrouhleny polynomy s dostatečným počtem členů. Nicméně, omezením polynomů na pátý řád jsme přišli o mnoho zajímavých variant. V této části prozkoumáme některé z těchto možností.

Nelinearity

Zřejmě nejjednodušší nelineární funkcí je absolutní hodnota | X |. Příkladem jednodimenzionální chaotické mapy, která obsahuje | X | je tzv. stanová rovnice (stanová proto, že grafem je obrácené V – obrácený graf | X |):

<math>X_{n+1} = 1 - 2 |X_{n}|</math>

Chování rovnice 8.1.1 je velmi podobné chování logistické rovnice (rovnice 2.2.3) s R=4 .

Protože jednodimenzionální mapy nejsou velmi vizuálně zajímavé, zevšeobecníme rovnici 8.1.1 do 2D následovně:

<math>X_{n+1} = a_{1} + a_{2}X_{n} + a_{3}Y_{n} + a_{4}|X_{n}| + a_{5}|Y_{n}| \\ Y_{n+1} = a_{6} + a_{7}X_{n} + a_{8}Y_{n} + a_{9}|X_{n}| + a_{10}|Y_{n}|</math>

Tato rovnice je analogická obecné dvojdimenzionální kvadratické mapě v rovnici 4.1.2.

Výsledné atraktory se liší od případů vytvořených polynomy tím, že mývají ostré (zalomené) rohy. V programu má tato funkce zadání s počátečním písmenem Y.

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG8 1 01.png
Čtyřdimenzionální speciální mapa Y
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG8 1 02.png
Čtyřdimenzionální speciální mapa Y
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG8 1 04.png
Čtyřdimenzionální speciální mapa Y

Polynomiální mapy obsahují malé mocniny proměnných (typicky mocniny na druhou a na třetí). Polynomy vylučují nelinearity typu druhá odmocnina ( x1/2 ) nebo převrácená hodnota proměnné ( 1/x , resp. x-1 ). Zkoumání chaotických atraktorů se zlomkem nebo zápornou hodnotu v exponentu je velmi zajimavé.

Následující obecný dvojdimenzionální systém rovnic zahrnuje libovolné mocniny:

<math>X_{n+1} = a_{1} + a_{2}X_{n} + a_{3}Y_{n} + a_{4}X_{n}a5 + a_{6}Y_{n}a7 \\ Y_{n+1} = a_{8} + a_{9}X_{n} + a_{10}Y_{n} + a_{11}X_{n}^{a12} + a_{13}Y_{n}^{a14}</math>

Zadání v programu je uvedeno znakem [.

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG8 1 05.png
Čtyřdimenzionální speciální mapa [
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG8 1 06.png
Čtyřdimenzionální speciální mapa [
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG8 1 07.png
Čtyřdimenzionální speciální mapa [

Dvě nejběžnější nelineární funkce jsou sinus a cosinus. Mohou být polynomy aproximovány následovně:

<math>\sin X = X - X^{3}/3! + X^{5}/5! - X^{7}/7! + … \\ \cos X = 1 - X^{2}/2! + X^{4}/4! - X^{6}/6! + …</math>

Obecný dvojdimenzionální systém rovnic, jejichž nelinearita je omezena na sinusovou funkci, je:

<math>X_{n+1} = a_{1} + a_{2}X_{n} + a_{3}Y_{n} + a_{4}\sin(a_{5}X_{n}+a_{6}) +a_{7}\sin(a_{8}Y_{n}+a_{9}) \\ Y_{n+1} = a_{10} + a_{11}X_{n} + a_{12}Y_{n} + a_{13}\sin(a_{14}X_{n}+a_{15}) +a_{16}\sin(a_{17}Y_{n}+a_{18})</math>

Sinus/cosinus funkcím je přidělen znak \ v kódovém zadání programu.

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG8 1 08.png
Čtyřdimenzionální speciální mapa \
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG8 1 09.png
Čtyřdimenzionální speciální mapa \
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG8 1 10.png
Čtyřdimenzionální speciální mapa \
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG8 1 11.png
Čtyřdimenzionální speciální mapa \
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG8 1 12.png
Čtyřdimenzionální speciální mapa \

Hamiltoniány

Hamiltoniány jsou speciální typy map, které zahrnují sinus i cosinus. Jejich řešení je chaotické, ale nejedná se o atraktory. Hamiltoniánský systém se řídí Liouvilleovým teorémem , který říká, že objem fázového prostoru obsazeného množinou bodů je zachován s vývojem systému v čase. Tedy orbita se časem vrátí libovolně blízko k počátečním podmínkám. Naopak u nekonzistentních systémů se objem fázového prostoru snižuje v čase, případně se v atraktor zhroutí všechny počáteční podmínky v oblasti přitažení. V nekonzistentních systémech je oblast přitažení o moc větší než atraktor. Rovnice jsou následující:

<math>X_{n+1} = 10a_{1} + [X_{n} + a_{2}\sin(a_{3}Y_{n}+a_{4})]\cos \alpha + Y_{n} \sin \alpha \\ Y_{n+1} = 10a_{5} + [X_{n} + a_{2}\sin(a_{3}Y_{n}+a_{4})]\sin \alpha + Y_{n} \cos \alpha</math>

kde α = 2π/(13+10a6) . Speciální tvar rovnice 8.2.1 zaručuje, že řešení je nejen s uzavřenou oblastí, ale také má kruhovou symetrii. Mimoto nastane vlastní pravidelnost.

V programu jsou hamiltoniány zastoupeny počátečním znakem ] v zadání.

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG8 2 1.png
Čtyřdimenzionální speciální mapa
]
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG8 2 2.png
Čtyřdimenzionální speciální mapa
]

Zhodnocení a použití

V poslední části zhodnotíme přínos chaotických atraktorů nejenom ve světě umění, ale i ve vědecké oblasti. Uvedeme příklad využití atraktorů při psychologickém výzkumu.

Jak běžný je chaos?

Rovnice, které jsme si v minulých kapitolách popsali, jsou vědci používány již několik stovek let pro popsání přírody. Důležitým předpokladem je mít systém rovnic dostatečné složitosti a s dostatečným počtem koeficientů. Potom můžeme kvantitativně určit rozsah chaosu v těchto rovnicích a odvodit jeho výskyt v přírodě. Z rovnic z minulých částí jsou nejblíže těmto systémům hlavně ty rovnice, které zahrnují polynomy vyšších řádů a dimenzí.

Jednoduchý, ovšem velmi nereálný příklad: předpokládejme, že celá příroda může být popsána logistickou rovnicí (rovnice 2.2.3). Tato rovnice má jeden parametr R , který kontroluje vlastnosti řešení. Jestliže je R>4 nebo R<2 , pak je řešení neohraničené. To znamená, že rovnice za těchto podmínek nemůže modelovat fyzikální děje – všechny přírodní jevy jsou ohraničené. Ve fyzikálně reálném rozmezí R se vyskytuje pásmo chaosu mezi hodnotami 3,5 a 4. Poněvadž je logistická rovnice příliš jednoduchá pro popsání téměř čehokoliv, prozkoumejme složitější modely.

Hénonova mapa (rovnice 4.1.1) je dvojdimenzionální zobecnění logistické mapy. Má dva kontrolní parametry, které obvykle jsou a=-1,4 a b=0,3 . Pokud b=0 , pak se Hénonova mapa zredukuje na logistickou mapu. A stejně tak jako u logistické mapy, i Hénonova mapa má neohraničená řešení, ohraničená nechaotická řešení i chaotická řešení. Ohraničená nechaotická řešení mohou být buď pevné body, nebo periodické limitní cykly. Na obrázku 9.1 je graf ab , ve kterém jsou znázorněné oblasti čtyř tříd řešení. Chaos nastane jen v cca 6% všech ohraničených řešení. Navíc má chaotická oblast mnoho malých vnořených periodických podoblastí. Hranice mezi chaotickými a periodickými oblastmi je sama o sobě fraktál.

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/FIG9 1.png
Oblasti řešení pro Hénonovou mapu

Pravděpodobnost, že ohraničená řešení jsou chaotická pro iterovanou polynomickou mapu dimenze D a stupně O , je dána přibližně tímto vztahem:

<math>P = 0,349 \cdot D^{-1,69} \cdot O^{-0,28}</math>

Podobně – pravděpodobnost, že v ohraničených řešeních nastane chaos u polynomických ODE dimenze D a řádu O , lze zhruba vypočítat následovně:

<math>P = 0,0003 \cdot D^{2} \cdot O^{0,5}</math>

Mapy se jeví méně chaotické, čím jsou složitější (větší O a D ), zatímco ODE se stávají chaotičtějšími.

Další zajímavostí je závislost fraktální dimenze a Ljapunovova exponentu na dimenzi a stupni systému. Pro polynomické mapy a ODE se fraktální dimenze mění přibližně jako druhá odmocnina dimenze systému. Ljapunovův exponent map se jeví nezávislý na stupni a je nepřímo úměrný dimenzi systému, ale u ODE má vzrůstající tendenci spolu s dimenzí i řádem. Téměř žádný atraktor nemá fraktální dimenzi větší než cca 1,3 ‧ D0,5 . Nejblíže maximální hodnotě jsou Lorenzův a Rosslerův atraktor s fraktální dimenzí lehce nad 2,0 ve 3D.

Jeden z důvodů, proč jsou u chaotických atraktorů uváděny Ljapunovův exponent a fraktální dimenze, je indikace míry zvláštnosti (dimenze) a míry chaotičnosti (exponent). Tyto míry nám pomohou při určení estetičnosti výsledných chaotických atraktorů.

Atraktory a psychologie

Problémem estetiky obrazů, jejich vnímání lidmi, se zabývalo v minulosti mnoho učenců a vědců. Zjistilo se, že ženy preferují obrázky znázorňující mír, harmonii barev a pečlivě vyváženou kompozicí. Naopak muži upřednostňují více dramatické a dynamické obrazce. I sám J. Sprott se zabýval lidskou odezvou na chaos. Zjistil, že atraktory s F mezi 1,17 a 1,38 a L mezi 0,30 a 0,46 jsou nejvíce přitažlivé po vizuální stránce. Obzvláště vysoce hodnocené jsou chaotické atraktory s L=0,21 a F=1,30 .

Umělecky orientovaní lidé dávají přednost vyšším F , zatímco vědecky zaměření preferují atraktory s vyššími L . Lidé s velkou tvořivostí a odlišným myšlením upřednostňují nižší F .

Tímto se také zabýval výzkum Mgr. Tomáše Staudka, Ph.D., a Mgr. Václava Linkova v práci Osobnostní charakteristiky a estetické preference chaotických křivek . Zkoumáním podrobili celkem 85 subjektů – 40 mužů, 45 žen; 35 dětí ve věku 9-11 let, 50 studentů psychologie a informatiky (19-28 let). Respondentům bylo předloženo celkem 75 obrázků chaotických atraktorů dvojdimenzionálních map pátého stupně. Jednotlivé obrázky se ohodnotili podle stupnice od 1 do 9. Poté ještě každý dospělý účastník výzkumu vyplnil dotazník se 60 otázkami – českou variantu NEO-FFI dotazníku (Costa&McCrae) zjišťující tzv. velkou pětku faktorů osobnosti: neurotičnost, extroverze, otevřenost zkušenostem, sympatičnost a svědomitost.

Nejvíce preferované atraktory měli L=0,209 a F=1,297 . Dále se zjistilo, že otevření lidé upřednostňují atraktory s vyššími L i F . Otevřenějším respondentům se líbili stínované vzory, hlavně ty, které zasahovaly do prostoru chaotickými závleky; nelíbili se jim statické, opakující se vzory. Atraktory z této skupiny byly často odmítnuty sympatickými lidmi, kteří dávají přednost neomezeným, jakoby od ruky náčrtkům od atraktorů vyznačujících se vnitřním prostorem s černými tlustými vzory. Skupinu atraktorů s nižším F a vyšším L kladně hodnotí otevření a sympatičtí subjekty. Málo oblíbená je u velkého počtu neurotiků, kteří preferují tenké křivky a jemné osnovy pavučinám-podobných struktur vykazující vizuální křehkost. Naopak odmítli vizuálně pevné objekty s tlustými křivkami. Atraktory s vyšší fraktální dimenzí a nižším Ljapunovovým exponentem a skupinu s jak nižším L , tak i F , vesměs přijali stejně všichni respondenti. Děti hodnotili všechny atraktory výše, než dospělí, preferující kompaktnější vzory s nižšími hodnotami L . Dospělí společně s otevřenými subjekty ocenili atraktory s vyšším L .

Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/openY.png
Typ atraktoru preferovaný otevřenějšími subjekty
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/openN.png
Typ atraktoru odmítnutý otevřenějšími subjekty
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/sympY.png
Typ atraktoru preferovaný sympatickými subjekty
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/sympN.png
Typ atraktoru odmítnutý sympatickými subjekty
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/neuroticY.png
Typ atraktoru preferovaný neurotickými subjekty
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/neuroticN.png
Typ atraktoru odmítnutý neurotickými subjekty
Soubor:Http://www.fi.muni.cz/~xskraba1/img/childN.png
Typ atraktoru preferovaný dospělými

Zhodnocení atraktorů

Využití chaotických atraktorů – matematicky generovaných objektů sledující řád, ale vykazující chaos – tedy není jen v počítačovém umění, ale lze je uplatnit i v psychologické praxi – např. jako obrazový dotazník pro psychodiagnostické testy. Dynamické systémy, jejichž součástí jsou chaotické atraktory, nalezneme všude kolem nás. Naš srdce je dynamický systém, jehož řešení se normálně blíží limitnímu cyklu, ale může být i chaotický v případě fibrilace; pevný bod pak znamená smrt. Poslední výzkumy naznačují, že i zdravé srdce bije chaoticky a do téměř periodického vzoru se dostane krátce před zástavou. I další orgány jsou dynamické systémy – plíce, svaly, nebo mozek. Z EEG mozku, které bylo podrobeno analýze, se zjistilo, že fraktální dimenze vzrůstá, je-li vyšší mentální aktivita. EEG subjektů s maniakální depresí se podobá limitnímu cyklu a určité typy nevyzpytatelných chování mohou být chaotický atraktor. Důkazy chaotických atraktorů nízkých dimenzí byly nalezeny v různorodých systémech jako počasí, epidemie, sluneční skvrny, proudění plazmy.

Chaos má hluboký filozofický význam. Chaos nám ukazuje, že determinismus neimplikuje předvídatelnost. Vzpomeňme si na hypotetické mávání motýlích křídel v Brazílii, které zapříčiní tornáda v Texasu, USA. Jestliže je doopravdy svět ovládán deterministickým chaosem, drasticky měníme budoucnost čímkoliv, co děláme. Nikdy se nemusíme cítit bezvýznamní nebo nedůležití. Kdo by si pomyslel, že by matematický koncept mohl změnit význam a účel našich životů?

Bibliografie

  • Název: Strange Attractors: Creating Patterns in Chaos, autor: J.C.

Sprott , releaseinfo: http://sprott.physics.wisc.edu/fractals/booktext/SABOOK.PDF, publikoval: M&T Books, New York , datum: 1993

  • Název: Chaos hypertextbook, autor: Glenn

Elert , releaseinfo: http://hypertextbook.com/chaos/

  • Název: Personality Characteristic and Aesthetic Preference for Chaotic Curves, publikoval: Special Edition of the Journal of Mathematics & Design, vol.4, no.1 , datum: 2004
  • Název: Skripta předmětu Výtvarná informatika, publikoval: interní publikace Fakulty informatiky Masarykovy univerzity
  • Název: program Attract předmětu Výtvarná informatika, releaseinfo: http://fosforos.fi.muni.cz/pv097/, publikoval: interní program Fakulty informatiky Masarykovy univerzity

Ukázky vytvořených chaotických atraktorů


  • Tento text byl vygenerován XSLT transformací ze zdrojového XML DocBook.